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一般均衡到阿罗德布鲁市场 一般均衡的不严谨分析 一般均衡的求解分为两个部分, 一部分是个人决策的最优化, 另一部分是市场出清. 在没有生产的单期一般均衡模型中, 每个人对每种商品有初始的禀赋 (e1,e2,⋯ ,en)(e_1,e_2,\cdots,e_n)(e1​,e2​,⋯,en​), 并有效用函数 u()u()u(). 所有的参与者参与交易, 最终所有商品的需求量等于所有人的禀赋之和. 每个人对每种商品的禀赋与需求之差在市场上买入或者卖出. 价格的调整让需求和供给达到平衡. 注意到这里所有的价格方程都是线性的,也就是说价格的等比例调整不会影响等号成立与否. 在所有商品的均衡价格都是正数的情况下(只要效用函数对每个商品的偏导数都大于0, 均衡价格就一定是正的)不妨假设一种商品的价格为1, 则在没有共线性的情况下可以用以上的方程求解出唯一的均衡. 阿罗德布鲁市场与阿罗证券 考虑下面的两期设定, 第 0 期有唯一确定的状态, 第一期有 S 个可能的状态, 在每个状态下市场都开放, 参与者可以在任意一期进行交易. 商品不可储存, 每一期的商品只能在当期消费. 每个人有对各个状态 (...

均值方差分析 不存在无风险资产 资产期望收益为 μ\muμ 资产间的协方差矩阵为 Ω\OmegaΩ 希望确定一个投资组合 www , 在期望收益不小于 rrr 的情况下最小化方差 优化问题等价于 min⁡12w′Ωws.t. w′1⃗=1,w′μ≥r‾.\begin{align*} \min & \frac 1 2 w'\Omega w \\ \text{s.t. } & w'\vec 1 = 1, \\ & w'\mu \ge \underline r. \end{align*} mins.t. ​21​w′Ωww′1=1,w′μ≥r​.​ 引入 KT 乘子和拉格朗日乘子求解优化问题. L=−12w′Ωw+λ(w′1⃗−1)+η(w′μ−r‾)L = -\frac 1 2 w'\Omega w + \lambda(w'\vec 1 - 1) + \eta (w'\mu - \underline r) L=−21​w′Ωw+λ(w′1−1)+η(w′μ−r​) 对向量 www 求导, 得 ∂L∂...

主成分分析(PCA) PCA的主要目标是将特征维度变小, 同时尽量减少信息损失. PCA通过线性变换将n维原始特征映射到维（k < n）上, 称这k维特征为主成分. 新构造出的k维特征相互正交, 且k维数据尽可能多地包含原始数据的信息. 新的维度要能区分数据, 就要求此维度上数据间的方差足够大. 构造新的正交向量, 使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上, 第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上, 依次类推. 假设原先的样本数据是m条特征数为n的数据集, 排列成n行m列的矩阵 X=(x1,x2,⋯ ,xm)X = (x_1,x_2,\cdots,x_m)X=(x1​,x2​,⋯,xm​), 其中 xix_ixi​ 是表示第 iii 条数据的列向量. (维度的)协方差矩阵 一个维度的方差是每个元素与该维度均值的差的平方和的均值, 即 Var(a)=1mΣi=1m(ai−aˉ)2=1m(Σi=1mai2−maˉ2)Var(a) = \frac 1 m \Sigma_{i=1}^m (a_i - \bar a)^2 = \frac 1 m (\Sigma_{...

近似纳什均衡 纳什均衡要求所有人都没有偏离当前策略的动机。 纳什证明了n个人的有限博弈一定存在纳什均衡, 但是即使对于两个人的情形, 如果每个人的策略空间很大, 均衡的求解还是会很困难。 如果放松求解的条件, 寻求一个策略使得每个人偏离增加的收益不超过一个常数, 则这个策略叫做一个近似纳什均衡(Approximate Nash Equilibria)。 考虑两个人的双矩阵博弈(bimatrix game), 寻找 PPAD-complete 的均衡求解还是很困难, 但是TS方法给出了在多项式时间内求得一个 0.3393 近似的均衡的算法。 收益的矩阵写法与近似均衡 对于两个人的策略, 可以表示成矩阵的形式. 以一个人的纯策略作为列索引, 另一个人的纯策略作为行索引, 两个矩阵中元素 (i,j)(i,j)(i,j) 分别对应的是行动 (ai,bj)(a_i,b_j)(ai​,bj​) 对两个人产生的收益。 给定两人的混合策略, 则矩阵中每一项被实现的概率就可以确定, 分别乘上对应的收益后加和就得到了这种策略下的期望收益。 记 R,CR, CR,C 分别是行玩家和列玩家的收益矩阵, ...

在这里整理几个不动点定理, 并说一说他们的应用. 一般来说, 对于一个集合 XXX 和一个映射 T:X↦XT:X \mapsto XT:X↦X, 如果存在 x∈Xx \in Xx∈X 满足 T(x)=xT(x) = xT(x)=x, 那么 xxx 就是一个不动点, 即它在映射下保持不变. *在很多领域中, 不动点是稳定（stability）和均衡（equilibrium）的代表——博弈（game）中的纳什均衡（Nash equilibrium）、阿罗-德布鲁经济体（Arrow-Debreu economy）中的一般均衡（general equilibrium）和马尔可夫链（Markov chain）的平稳分布（stationary distribution）都是不动点. * 巴拿赫不动点定理 巴拿赫不动点定理（Banach fixed point theorem）通常被叫作压缩映像原理原理（contraction mapping principle）, 它用构造性的方法证明了度量空间（metric space）中某些特殊映射（压缩映射）不动点的存在性和唯一性. 巴拿赫不动点定理 ...

博弈论基本知识 一般来说提到博弈论就想到的是纳什均衡, 那就直接来看看纳什做了什么工作. 纳什的博弈理论是基于缺乏联盟的非合作博弈形式, 即假设每个参与者的行动是独立的, 只关心自己利益的最大化. 考虑到每个人可以按照事先决定的概率分布在自己的策略空间混合, 对每个人来说, 对自己选取的每一种确定的行动, 就对应一个期望收益. 在非合作的前提下, 给定别人的策略, 每个人都希望自己的策略能够最大化自己的期望收益. 当每个人都不能通过仅仅改变自己的策略来提升自己的效益的时候, 就达到了一个纳什均衡点. 也就是说, 在一个均衡中, 某个人 iii 的策略 α\alphaα 如果被以正的概率选择, 则给定其他人的策略时, 这个策略一定是可以最大化自己期望效用的策略中的某一个, 这也是纳什均衡的另一个充要条件. 以下是数学化的描述： 有限博弈：博弈中有 nnn 个人, 每个人有有限个纯策略, 以及收益函数 pi:(π1,π2,⋯πn)→Rp_i: (\pi_1,\pi_2,\cdots \pi_n) \rightarrow \mathbb{R}pi​:(π1​,π2​,⋯πn​)→R ...

WSL2开荒与机器学习环境（纯新手入门向） 每次换主机或者系统重装都要进行一大堆开荒的操作, 虽然操作起来流程都是一样的, 但总有地方需要查. 现在的网络环境下懂的不懂的人都在乱说, 每次寻找信息也要花费不少时间, 于是决定自己写一个文档供以后的自己参考. WSL和WSL2 新装的系统默认的WSL应该是WSL1, 如果想要更好更完整的体验可以升级到WSL2. 大致来说需要的操作是在系统的 启动或关闭windows功能 里面打开 Hyper-V 和 适用于Linux的Windows子系统. 大致来说WSL1和2的区别就是WSL2更像是一个虚拟机, 它的底层和 Docker 有着千丝万缕的联系；而WSL1更像是Linux和Win的无缝衔接, 这也导致了WSL1的功能和性能都在很大程度上被限制了. 这里再说一句网络上二者的区别. WSL1直接使用宿主机的网络, 如果你在WSL1里面监听一个端口, 直接使用 <宿主ip>:<监听port> 就可以建立连接. 这样的好处就是直接可以暴露WSL里面的端口, 简单方便. 但是如果宿主和WSL的端口号冲突了, 可想而知就...

Introduction 这个实验的内容是自己写一个tiny shell，实现一些shell应该有的功能。其实上这个lab是我回课轮到的，但是到最后我还是没能完全弄懂，所以非常惭愧。总的来说想要通过所有的trace，只要把不确定的信号全部都暂时屏蔽了然后记得时不时回来处理被屏蔽的信号就可以了，但是我觉得这不是这个lab的“真谛”——做这个lab更应该明白为什么要屏蔽某个信号，然后屏蔽尽可能少的signal。 Shell Lab 说回来虽然我当时花了很长的时间来做这个lab，主要原因还是上课没有认真跟上节奏，管爷上课自娱自乐还不下课是真的难顶。要做好这个lab我的建议是先仔细看tsh.c的框架，然后研读CSAPP上关于屏蔽信号的内容，然后在ref的shell上操作一番，最后才是动手写，着急吃不了热豆腐啊。。。 这个lab没什么心情认真写了，我直接贴上代码吧以后心情好了补上文字。但是代码中的中文注释我已经尽可能详细了。 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546...

Arch Lab的目的是加深对于Y86指令执行的理解。实验分城三个部分，Part A是完成三个程序的汇编代码，Part B要向已有的指令集中加入两条指令，Part C是优化代码，使其运行的尽可能快。 Part A 在sim/misc文件夹中，我们要编写三个Y86指令汇编代码，实现examples.c中相应函数的功能。 sum.ys 先来看一下c的程序： 12345678910/* sum_list - Sum the elements of a linked list */long sum_list(list_ptr ls){ long val = 0; while (ls) { val += ls->val; ls = ls->next; } return val;} 这是一个迭代求和的过程。实验材料并没有给出模板，但是可以参考教材图4-7给出的完整的程序文件的例子。这样的程序包括了数据和相应的所有指令。略微的区别在于书上是对一个数组进行求和，而lab要求对链表进行求和，所以要对取下一个数的方式做出...

Bomblab是第二个lab，简单来说任务就是通过阅读反汇编得到的代码和GDB调试，输入正确的字符串以过关，错误则可能会引爆炸弹。 看着好像很恐怖，引爆一次炸弹就要扣除最终一定的分数，但其实丝毫不用担心。一方面虽然lab本来是做过处理只能在服务器上运行的，但是只要找到合适的入口你就可以跳过服务器检测从而在本地拆弹，另一方面只要会设置断点，每次都在explode_bomb（引爆炸弹函数）处设断点，该收手时就收手，根本不用担心炸弹爆炸。但是我不推荐第一种方式，因为要是你有这种绕过服务器检测函数的水平，这个lab对你来说应该是没有难度的，正常做就好了。 有一点十分遗憾的是，在我写这个解析的时候服务器已经关掉了，而且我也并不会修改HEX使得炸弹在本地运行。于是我只能分析拆弹的流程，不能给出具体运行的截图，在此说一声抱歉。 很多网上的解析上来就说啊好你看这六个阶段每个阶段怎么怎么做，隐藏炸弹怎么怎么进。但是我在做lab时每次最先遇到的问题都不是题目本身，而是怎么理解接近十页的writeup，怎么开始。Bomblab最基本的工具就是GDB和SSH，但是大部分的解析几乎都略过了这一部分，所以我...